Эльдар Марченко

ФРЕЙМ

Глобальная схема расположения и планировки городов

СОДЕРЖАНИЕ


1. АННОТАЦИЯ
2. ВВЕДЕНИЕ
3. МЕТОДОЛОГИЯ
4. ФОРМУЛИРОВКА ГИПОТЕЗЫ
5. РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
6. ГЕОМЕТРИЯ ФРЕЙМА
7. СВЯЗЬ ФРЕЙМА С ГЕОГРАФИЧЕСКИМИ КООРДИНАТАМИ
8. ОРИЕНТАЦИЯ ПЛАНИРОВОЧНЫХ ОСЕЙ
9. ОБЪЕКТЫ ВДОЛЬ ГЛАВНОЙ ВЫСОТЫ ТРЕУГОЛЬНИКА "AGC"
10. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
БИБЛИОГРАФИЯ

ПРИЛОЖЕНИЯ


A) Координаты центров столиц
B) Расчет вероятности и описание работы симуляторов для симметричного пятиугольника
C) Расчет вероятности и описание работы симуляторов для медиан и биссектрис треугольника AGC
D) Описание работы симулятора расположения случайных точек вдоль прямых
E) Измерение ориентации 366 объектов и оценка вероятности случайного совпадения
F) Становление современных столиц Европы и Северной Африки
G) Примеры применения фрейма как координатной системы

1 АННОТАЦИЯ


Взаимное расположение ряда крупных городов в некоторых частях Ойкумены, возможно, содержит следы порядка – так, как если бы их основание или установление статуса определялось не случайным образом, а по единому плану или набору правил. В данной монографии предпринята попытка проверки этой гипотезы с использованием методов компьютерного моделирования. Определена вероятность ряда совпадений, которые могут рассматриваться как признаки рукотворной организации пространства в масштабах континента.

Работа претендует на прогностический потенциал в области археологии. На взгляд автора, объем совпадений, приведенных в публикации, достигает той критической величины, после которой отрицание определенного порядка в расположении городов и их планировке противоречило бы здравому смыслу. Однако, этот интуитивный вывод нуждается в теоретическом обосновании. Для этого создан ряд вероятностных симуляторов, результат работы которых подтверждает справедливость исходной гипотезы.
Основной текст состоит из разделов "Введение", "Методология", "Результаты" и "Обсуждение результатов". Он дополнен приложениями, в которых A и E носят справочный характер, B, C и D подробно описывают программные симуляторы, а G содержит иллюстрации, которые могут быть интересны при более подробном знакомстве с предлагаемой теорией.

Выбор основной группы объектов для изучения обоснован в разделе "Методология"; там же на примере Мезоамерики проиллюстрирован предмет и метод исследования. Параграфы 5.1−5.4 Результатов совершенно необходимы для понимания работы, так как в них вводится главная геометрическая структура, предположительно определяющая положение городов.

Далее рекомендуется ознакомиться с параграфом 5.8 и последующими, где обсуждаются связь с этой структурой планировочных осей городских районов и строений.

2 ВВЕДЕНИЕ


Эта монография просто обречена быть проигнорированной научным сообществом; тому существуют две объективные причины. Первая – слишком широкий временной и пространственный охват, который, вкупе с междисциплинарностью, делает невозможной верификацию результатов силами отдельного исследователя – несомненно, более компетентного, чем автор, но, как правило, в гораздо более узкой области. Вторая – невероятный объем спекуляций на сходные темы, который, пусть и на периферии зрения экспертов, успел сформировать крайне негативное отношение к самому предмету исследования.

Несмотря на это, автор берет на себя смелость заявить о научном подходе к проблеме, насколько это вообще возможно на стыке географии, геометрии, теории вероятности, истории и градостроительных практик. Еще одно существенное отличие данной теории от схожих с ней спекуляций – в том, что она позволяет делать предсказания, могущие привести к значимым археологическим находкам.

Наука не рассматривает саму возможность рукотворной организации пространства в масштабах, превышающих отдельное поселение. Но даже в его пределах проблему выбора (или объяснения) ориентации планировочных осей обычно обходят стороной. В объемных академических изданиях, где можно было бы ожидать хотя бы попытку поставить подобные вопросы, выбор ориентации либо не дискутируется вообще, либо связывается с естественными факторами – ландшафтом, розой ветров, более древними дорогами и т.п. – то есть, по сути, ставится в зависимость от стечения обстоятельств.

Примечание: Так, Льюис Кибл в 382-страничных "Принципах и практике планирования города и деревни" касается вопросов ориентации только между прочим [Keeble, 1964, С. 43, 87, 90, 92]; Зигфрид Гидеон, автор 778-страничного тома "Пространство, Время и Архитектура" [Giedion, 1959], обходит тему вниманием, и т.д.

Свидетельство отсутствия интереса к теме можно найти в наиболее полном на сегодня труде о высокой эпохе основания городов (XII–XIV вв.): оказывается, что источников, на которые можно было бы сослаться в таком обсуждении, чрезвычайно мало. См., например, [Boerefijn, 2010, С. 269, 355, 412, 439]. Последние серьезные попытки теоретизации датируются началом XX столетия.

Примечание: Прежде всего: [Nissen, 1910]. Также: [Müller, 1938]. Современные исследователи, типа [Boutsikas, 2007], [Liritzis, et al, 2001] или [Reidinger et al, 2009], разрабатывают старую гипотезу астрономических ориентиров.

100 лет назад, когда данный предмет все еще находился в фокусе научного зрения, не существовало современных вычислительных мощностей, без которых поиск подобных закономерностей если не невозможен, то вряд ли осуществим в обозримые сроки. Сегодня проблема противоположная: доступность инструментов грозит похоронить тему под лавиной беллетристики.
Отчасти по этой причине объем текста в работе сведен к минимуму; раздел "Обсуждение результатов" уместился на странице, и сделана ставка на то, что при беглом просмотре взгляд читателя зацепится за какую-либо из иллюстраций, а при более внимательном чтении непременно сложится целостная картина, не нуждающаяся в долгих рассуждениях.

3 МЕТОДОЛОГИЯ


3.1 Простейшие модели симулятора
3.2 Критерии неслучайности
3.3 Требование однородности и выбор объектов
3.4 Измерения и вычисления
3.5 Методология на реальном примере

3.1 Простейшие модели симулятора


Когда взаимное расположение неких объектов кажется неслучайным, задача заключается в том, чтобы численно оценить вероятность такого совпадения. В простейших случаях эта вероятность может быть вычислена аналитически; иногда более продуктивным выглядит построение компьютерной модели. Такая программа, совершая тысячи и миллионы попыток, подсчитывает, сколько раз нужное нам совпадение произошло.
Две точки расположены случайным образом относительно начала координат (Рис. 1). "Совпадением" назовем случай, когда дистанции от начала координат до этих точек оказываются равными с точностью ±δ.

Рис. 1

Если известна максимально возможная дистанция (Rmax), вероятность такого события рассчитать легко: она равна 2δ / Rmax. Скажем, для Rmax = 2345 км и δ = 20 км, вероятность составит 40 / 2345 = 0.017.
Программный симулятор этого процесса устроен следующим образом: сначала генерируется "карта местности", то есть задаются случайные координаты двух точек. Затем сравниваются расстояния до этих точек от начала координат.
Если они равны с погрешностью ±δ, фиксируется совпадение (счетчик совпадений увеличивается на единицу). Это повторяется заданное число раз.
Запуская симулятор 1000 раз, мы действительно
наблюдаем около 17 совпадений.

Рис. 2

Усложним задачу: предположим, что в каждой из точек находится стрелка, сориентированная случайным образом (Рис. 2).
Какова вероятность того, что одна или обе стрелки окажутся развернутыми к точке начала координат с точностью ±ε°?
Здесь мы имеем дело уже с несколькими независимыми событиями: точки должны случайно оказаться на одной окружности, и каждая стрелка должна случайно повернуться
на определенный угол. Вступает в силу правило умножения вероятностей, и результат может оказаться ниже на несколько порядков.
На реальной местности мы имеем дело с десятками и сотнями объектов. Описание события, вероятность которого мы пытаемся выразить в цифрах, также усложняется. В какой-то момент создание программного симулятора оказывается более оправданным, чем разработка аналитической модели, а сам симулятор – более точным, поскольку его можно наполнить подробностями, аналитическая модель которых была бы слишком громоздкой.
Там, где это уместно, помимо данных симулятора приводится аналитическая модель. Описание работы реальных симуляторов вынесено в Приложения.

3.2 Критерии неслучайности


Признаками осознанного планирования мы считаем такие качества, как порядок, регулярность, пропорциональность и симметрия. В рамках этой работы мы признаем их самостоятельную ценность и оставляем без внимания вопрос функционального назначения такой упорядоченности.

В работе мы стараемся придерживаться следующих правил:
a) изучаемые объекты должны быть однородными;
b) рассматриваются только измеримые параметры этих объектов;
c) везде, где возможно, вероятность случайного совпадения оценивается численно.

К числу наиболее явных признаков как градостроительного, так и архитектурного планирования относятся:

1. перпендикулярность, следование прямому углу;

2. ориентация на известный объект;

Примечание: Этим объектом может быть не только реально существующий артефакт, но и вычисляемая геометрическая точка; простейшим примером может служить Северный Полюс. Известна также традиция ориентировать здания на Иерусалим и Мекку, [Petersen, 1996, С. 240]

3. расположение вдоль прямой, соединяющей известные объекты или вычисляемые точки;

Примечание: В большинстве случаев под "прямой" мы подразумеваем геодезическую прямую – кратчайшее расстояние между двумя точками вдоль поверхности сферы. Меридианы, к примеру, являются таковыми, параллели же нет.

4. равноудаленность от известного объекта или вычисляемой точки;

5. известные в архитектуре углы и пропорции, в частности – связанные с целыми числами, а также золотое сечение и его производные;

Примечание: Об использовании целочисленных пропорций в средневековой архитектуре – например, [Cohen, 2008].

6. правильные геометрические фигуры и их элементы, такие как окружность, равнобедренный треугольник и его медиана, высота или биссектриса, и так далее;

7. связь с физическими параметрами земной сферы. Если наблюдается один из этих признаков или их совокупность, и если задача поддается формализации, для оценки вероятности этого набора совпадений строится программный симулятор.

3.3 Требование однородности и выбор объектов

Рис. 3

Чтобы расчет вероятности оказался возможным, число объектов в рассмотрении должно быть определенным, а сами объекты – однородными. Список столиц современных государств удовлетворяет обоим этим критериям.

Примечание: Единственное исключение сделано для Стамбула, который потерял статус столицы в 1923 г., но тем не менее входит во все наши компьютерные модели.

В Европе в него включены все страны, кроме микрогосударств. В Азии для нас важен регион Ближнего Востока, в Африке – Египет.

Корректная и доступная для понимания вычислительная модель нуждается в четко очерченной области пространства с геометрически простыми границами, внутри которых будет симулироваться возникновение упорядоченных структур. Эти границы показаны на Рис. 3. Часть симуляторов работает с регионом, который обозначен пунктиром и включает в себя 37 столиц.


Другие программы моделируют составную область, показанную сплошной линией. Она состоит из двух участков равной площади, ограниченных линиями параллелей и меридианов (условные "Запад" и "Восток") и охватывающих 42 и 25 столиц.


Все эти города рассматриваются как геометрические точки с координатами, заданными объектом типа кафедрального собора, старейшей или самой известной церкви, кирхи или главной мечети.


Примечание: В Европе такой объект можно достаточно определенно назвать для каждого города. В Азии для 7 столиц, где такой выбор был затруднен, используются усредненные координаты исторического центра.


Список приведен в Приложении A. Если какие-либо элементы изучаемой схемы касаются исторических (бывших) столиц, мы иногда упоминаем об этом. Однако, весь массив таких городов не использовался в моделировании, поэтому эти совпадения приводятся справочно и не должны рассматриваться как дополнительные доказательства.

3.4 Измерения и вычисления


Координаты физических объектов получены из программы виртуального глобуса Google Earth Pro, использующей геодезическую систему WGS84. Средняя ошибка этой программы в исследуемом регионе составляет порядка 10 метров.

Примечание: Это следует из последних исследований: [Ragheb et al, 2015]. Также [Potere, 2008].

Вычисления проводятся на модели идеальной сферы, то есть с помощью базовых соотношений сферической геометрии, без учета реальной формы земного эллипсоида. В связи с этим в большинстве случаев указываются две дистанции: расчетная в угловых единицах (градусах или радианах) и фактическая в километрах. Для целей данной работы угловая мера принята в качестве основной, а километровые расстояния указаны справочно.

Примечание: Длина одного градуса дуги вдоль земной поверхности, измеренная в Google Earth у экватора и у полюса, отличается на 0.5%. На северной и южной границах исследуемой области эта разница – около 0.3%. Таким образом, дистанции, одинаковые в километрах, могут отличаться в этих пределах, если выразить их в градусах дуги, и наоборот.

Если не указано иное, градусы и радианы используются как мера углового расстояния (длины дуги на поверхности идеальной сферы), без связи с географическими градусами. Большинство наших компьютерных симуляций также использует модель идеальной сферы, с меркаторовым преобразованием координат для представления на экране. Несколько алгоритмов реализовано на плоскости – там, где это не оказывает большого влияния на точность расчетов.

3.5 Методология на реальном примере


Прежде чем перейти к формулировке гипотезы, проиллюстрируем предмет и метод исследования случаем Мезоамерики – региона, к которому в этом тексте больше не будем возвращаться. На Рис. 4 показаны все столицы этой части североамериканского континента. Заметны два совпадения: Сан-Сальвадор и Тегусигальпа находятся на линиях, соединяющих пары других столиц. Отклонение собора в Сан-Сальвадоре от линии, соединяющей два других собора (ширина полосы) – 0.27 км; для Тегусигальпы отклонение составляет 0.58 км. Если уместить карту на листе бумаги А4, такая ширина полосы примерно соответствовала бы толщине человеческого волоса.

Примечание: Для наборов более чем из трех объектов, в целях моделирования лучше говорить не об их отклонениях, а о ширине полосы, в пределах которой они умещаются. В дальнейшем мы будем поступать именно таким образом. В данном случае эти значения совпадают.

Полные длины отрезков – 872 и 624 км.

Рис. 4

Программный симулятор устроен следующим образом. Карта разбита на два участка тех же пропорций, что и на реальной местности.
Каждый прогон начинается с генерации случайных координат пяти городов на большем участке и одного – на меньшем. Затем программа пытается определить, оказался ли хотя бы один из "городов" между двумя другими с заданной точностью. Все подобные случаи фиксируются. Таким образом, после серии из нескольких тысяч прогонов мы знаем, сколько раз случайно сложилась ситуация, подобная наблюдаемой в реальности.
Для ширины полосы, взятой с запасом (0.75 км), две тройки одновременно образуется в 300 случаях из 150 000 прогонов симулятора. То есть вероятность такого события равна 0.002 (два случая из тысячи).

4 ФОРМУЛИРОВКА ГИПОТЕЗЫ


В примере Мезоамерики мы обнаруживаем некоторые признаки, которые могут свидетельствовать о существовании единого плана освоения этой территории. Компьютерное моделирование оставляет два шанса на тысячу, что такого плана не существует и наблюдаемый феномен – результат случайного стечения обстоятельств. В последующих примерах мы столкнемся с еще большим числом таких признаков и еще меньшими значениями вероятности. Тем не менее, шанс случайного совпадения никогда не равен нулю; с этой необходимой оговоркой мы выдвигаем следующую гипотезу. На территории Мезоамерики, Европы и юго-западной Азии действовала или действует глобальная планировочная схема, оказывающая влияние на размещение органов высшей административной и/или церковной власти и иногда на их ориентацию в пространстве (которая, в свою очередь, влияет на формирование осей городской застройки). Эта планировочная схема определенным образом связана с физическими параметрами земной сферы и актуальной системой пространственных координат.

5 РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ


5.1 Центральный элемент планировки
5.2 Базовые точки
5.3 Фрейм (определение)
5.4 Фрейм как координатная система
5.5 Задача о телефонных будках

5.1 Центральный элемент планировки


Если в Мезоамерике мы столкнулись с довольно простой и асимметричной конструкцией, то в Европе сразу обращает на себя внимание симметричный пятиугольник с вершиной в Гринвиче. Отклонения от строгой симметрии приведены в Таблице 1, сама фигура – на Рис. 5.

Таблица 1

Рис. 5.

Координаты точек, между которыми измерялись дистанции, приведены в Приложении A. Точки R, B, W, S находятся в исторических центрах Рима, Будапешта, Варшавы и Стокгольма; точка G – королевская обсерватория Гринвича.


Примечание: После того, как мы введем понятие "базовой точки", буквам R,B,W и S будут сопоставлены немного иные координаты. Сейчас, для простоты, они обозначают старейшую церковь или кафедральный собор.


Роль данной фигуры, как центрального планировочного элемента, будет ясна в дальнейшем, а пока рассмотрим вероятность ее появления вне ее связи с более масштабной схемой, частью которой она, согласно нашей гипотезе, является.


Подробное изложение методик численной и симуляционной оценок этой вероятности приведено в Приложении B. Грубая численная оценка дает результат 0.0010, симуляторы – 0.0008–0.0006. Этот результат относится к случаю, когда мы требуем, чтобы в вершине фигуры находилась определенная точка (в данном случае – гринвичская обсерватория). Если снять это условие, то вероятность того, что какие-либо 5 городов из 37, находящихся в этой области, образуют подобную фигуру , составляет около 0.038, или 1 к 26. Однако, этот последний случай вряд ли заслуживает внимания, если учесть совершенно особую роль Королевской обсерватории в геодезической науке и практике. Можно, таким образом, утверждать, что искомая вероятность – примерно 1 к 1300.


Примечание: Под "подобной фигурой" подразумевается произвольный пятиугольник, единственное требование к которому – такая же симметрия между двумя парами точек относительно общей оси, какую мы наблюдаем в реальности.

5.2 Базовые точки


Если исходить из предположения о том, что описанный выше пятиугольник не случаен, то есть был спроектирован сознательно, то уместно будет задать некую идеальную геометрическую фигуру, обладающую строгой симметрией относительно одной оси, и посмотреть, насколько ее вершины будут отличаться от координат центра города, указанных в Приложении A. Вершины этой фигуры назовем "базовыми точками".

Примечание: На данном этапе изложения не существует никаких критериев для выбора определенных точек из бесконечного множества лежащих вблизи центра города так, чтобы они образовали строго симметричный пятиугольник. На самом деле, этот выбор продиктован дальнейшим ходом исследования.

Название "базовые" выбрано в связи с тем, что абсолютно все дальнейшие построения будут выполняться на основе данного пятиугольника.
Для базовых точек выполняются равенства угловых расстояний: GR=GS, GB=GW, RB=SW с погрешностью не более ±0.6 · 10−7 радиан или около 0.4 метра. Ось симметрии проходит точно через середины отрезков RS и BW под углом 90° к ним с погрешностью не более ±0.5 · 10−4 градусов.

5.3 Фрейм


Сделано предположение, что описанная выше фигура является частью некоей более протяженной конструкции – "фрейма", играющего роль своеобразного каркаса или фермы, на основе которой выполнялось планирование изучаемой территории.

Примечание: Использование этого англоязычного термина в русском тексте оправдано многолетним употреблением в системном анализе, социальных и других науках. Значение: каркас, скелет сооружения, ферма, система координат, основа, стержневая конструкция.

Фрейм обладает следующими качествами:
1. Роль координатной системы для, как минимум, 18 столиц
2. Уникальная геометрия, имеющая признаки осознанного конструирования
3. Связь с действующей системой географических координат
4. Совпадение ориентации городских планировочных осей с азимутами на его точки

Чтобы начертить фрейм, продолжим до пересечения друг с другом отрезки RB и GS, а также SW и GR (Рис. 6). Полученные точки пересечения назовем A и C. Точка M – середина основания равнобедренного треугольника AGC. Отрезок GM будем называть "главной высотой". Точки, принадлежащие главной высоте, будем обозначать строчными буквами греческого алфавита.

Рис. 6


Все четыре перечисленных качества фрейма будут подробно рассмотрены в следующих параграфах.
В точках А и С не обнаружено никаких примечательных артефактов; первая находится в Ливийской пустыне, вторая – на Крайнем Севере.

Однако, вдоль отрезка AC такие объекты имеются, и самый заметный из них – старейшая из египетских пирамид, так называемая Ступенчатая или Джосера. Она считается самым ранним из зданий, возведенных из крупного тесаного камня [Shaw, 2000, С. 480].
Дистанция от ее вершины до отрезка AC – 250 метров.
Примечание: Ее положение вдоль этого отрезка уникально и находится в жесткой взаимосвязи с геометрией фрейма. Подробно об этом см. "Пирамида Джосера".

5.4 Фрейм как координатная система


Фрейм позволяет путем весьма лаконичных построений с высокой точностью 21 определять положение точки (то есть – центра города) на сфере.
В большинстве случаев ошибка не превышает размеров самого города.
Обычно две точки фрейма задают направление радиус-вектора, еще одна точка или дополнительное построение – его модуль.
Чтобы не утяжелять изложение, подробные примеры вынесены в Приложение G. Здесь ограничимся самым наглядным случаем, вкупе с оценкой вероятности.
На Рис. 7 показаны 7 столиц, расположенных на медианах и биссектрисах треугольника AGC.

Рис. 7

Вероятность случайного совпадения центров 7 из 30 городов, расположенных внутри фрейма, с биссектрисами и медианами △AGC рассчитана аналитически и с помощью программного симулятора. Отклонение мы принимаем равным ±0.002 радиана, т.е. в два раза выше фактического среднего. Подробности приведены в Приложении C. Согласно грубым теоретическим расчетам и более точному компьютерному моделированию, искомую вероятность можно оценить примерно как один к миллиону.
После того, как оценена вероятность каждого из двух событий (E1 – формирования симметричного пятиугольника с вершиной в Гринвиче, на основе которого построен фрейм, и E2 – того, что уникальные отрезки фрейма пройдут через центры 7 городов), можно, наверное, говорить и о совместном их появлении, как о произведении вероятностей. Если использовать данные симуляторов, это произведение равняется
6.8 · 10−10 , или 1 к 1.5 млрд.
Приведенные в Приложении G примеры показывают, как с помощью фрейма можно задать направление радиус-вектора для 18 городов и модуль для 5 из них. Еще 6 локализуются с помощью столь же простых чертежных приемов. Однако, универсального метода или системы здесь не просматривается (если не считать таковыми саму возможность выполнить необходимые построения без каких-либо расчетов, "с помощью циркуля и линейки"). Поэтому оценить вероятность случайного совпадения для этих примеров невозможно; задача не поддается формализации. Однако, отчетливо виден повторяющийся паттерн: цепочки из 3, 4 и более городов вдоль одного заданного фреймом луча. Поэтому следующий вопрос, который уместно задать, звучит так: сколько цепочек из 4 и более городов может случайно возникнуть в этом пространстве, и сколько их там на самом деле?

5.5 Задача о телефонных будках


Похожий феномен был впервые описан А. Уоткинсом (Alfred Watkins) в 1921 году в работе "Древние дороги Британии..." [Watkins, 1922]. Автор сделал предположение, что погребальные холмы, церкви, в том числе построенные на месте древних капищ, искусственные водоемы и другие объекты образуют цепочки, расположенные строго вдоль геодезических прямых. Назначение таких цепочек – служить ориентирами на местности в отсутствие более продвинутых средств навигации. Саму идею такого ориентирования трудно оспорить: известно, к примеру, что в империи инков существовала целая топографическая система, основанная на десятках векторов, исходящих из единого центра.

Примечание: Эта система впервые описана в работе [Ondegardo, 1561].

Однако, работа Уоткинса подверглась обоснованной критике с помощью статистических методов. Археолог Р. Аткинсон (Richard J. C. Atkinson) продемонстрировал, насколько легко обнаружить цепочки объектов вдоль прямых на схеме расположения телефонных будок. Дальнейшие исследования и компьютерные симуляции показали, что "закономерности", отмеченные Уоткинсом, можно найти в любом случайном распределении, если в нем участвует достаточно много объектов.

Примечание: Вопрос подробно освещен в статье [Alignments of random points, 2015]

Поскольку аналитические модели разрабатывались уже неоднократно, например [Lezama et al, 2014], наша задача заключается в построении компьютерного симулятора, максимально близкого к реальным условиям на местности. Цель симулятора – установить вероятность случайного появления того числа цепочек из городов, расположенных вдоль прямой, которое мы наблюдаем на самом деле.

Задается предельное отклонение города от прямой, а точнее – ширина полосы, в которую должны уместиться все города данной цепочки, а также минимальная длина цепочки (4 города). Алгоритм работы симулятора и его результаты описаны в Приложении D. Если рассматривать цепочки из 4, 5 и более городов, умещающиеся в полосу шириной 3 км, то вероятность случайного появления 12 таких цепочек (что мы наблюдаем в реальности) – не более 0.006, что в 30 раз ниже наиболее вероятного значения для этой ширины полосы – Pr=0.18 (от 2 до 5 цепочек).

При расширении полосы вероятность наблюдаемого числа совпадений растет, но даже на полосе 6 км мы находим в 6 раз больше таких цепочек, чем их чаще всего образуется в симуляторе при случайной генерации карты.

Сам по себе феномен образования таких цепочек не представлял бы особого интереса, если бы не его возможная связь с архитектурой фрейма. В некоторых случаях такая связь кажется абсолютно явной (медианы, биссектрисы, лучи из вершин △AGC), в некоторых ее нетрудно установить путем простых чертежных приемов, иногда же эта связь отсутствует или слишком неочевидна. Список цепочек, которые представляются нам заслуживающими упоминания, приведен в Приложении G.
С помощью того же симулятора можно выяснить, насколько часто хотя бы две "четверки" и одна "тройка" городов ложатся на лучи из вершин A и C треугольника (даже не требуя при этом, чтобы лучи проходили каким-то определенным образом, как в Приложении G). Оказывается, что вероятность такого события – 0.0012 (6 случаев на 5000 испытаний). Если эту последнюю величину рассматривать не саму по себе, а в контексте других событий, связанных с фреймом, похоже, что вероятность всего комплекса совпадений, описанных выше, будет иметь порядок 10−12.

6 Геометрия фрейма


Этот и следующий параграфы требуют некоторого знакомства с основами геометрии и понимания разницы между рядовыми свойствами геометрических фигур и нетривиальными совпадениями. Не интересующиеся геометрией могут сразу перейти к параграфу 5.8.
Фрейм как геометрическая фигура обладает несколькими нетривиальными свойствами, заставляющими вспомнить об античной и средневековой архитектуре и ее натурфилософских основаниях – в частности, об идее универсальных пропорций в строении всего, от вселенной до человеческого тела.
См. например Marcus Vitruvius Pollio: de Architectura, Book III, Введение и Главу 1.
Как будет видно, в геометрии фрейма часто встречаются числа 3, 7 и √3.

6.1 Свойство 1

Рис. 8

Если разделить отрезок GM пополам точкой ψ, а затем соединить эту точку с вершинами треугольника, отрезки ψA и ψC окажутся равными главной высоте GM:
ψA = ψC = GM, если ψ – середина GM.
Расхождение не превышает 0.0029° или 0.011%. (В дальнейшем указывается только расхождение ε в процентах, рассчитанное как отношение разности двух сравниваемых величин к меньшей из них или к той, совпадение с которой отмечается, умноженное на 100%.). Напомним, что треугольник AGC вычерчен на основе базовых точек, лежащих в центрах городов Рим, Стокгольм, Будапешт и Варшава (Рис. 5 и Рис. 6), так что совпадение это никаким образом не следует из способа построения данной фигуры.

Интересно рассмотреть плоский треугольник, обладающий тем же свойством (Рис. 9). Его легко получить из заштрихованного треугольника, короткий катет которого относится к гипотенузе как 1:2. Если высота G'M' равна 1, то основание A'C' равняется 3. Справа показан тот же треугольник, но с высотой, опущенной к боковой грани. Заметим, что высота отсекает одну седьмую боковой грани; к этой пропорции мы еще вернемся.

Рис. 9

6.2 Свойство 2

Лучи, проведенные из вершин A и C к точке пересечения главной высоты с отрезком BW, образуют с основанием треугольника углы около 1/√3 радиан (Рис. 9).

Рис. 10

6.3 Свойство 3

Если продолжить отрезок BW до пересечения с боковым гранями треугольника, а точки пересечения κ' и κ'' соединить со серединой основания (точкой M), образуются отрезки дуги длиной 1/3 радиана (Рис. 10).

Рис. 11

6.4 Роль числа √3 в культуре

Рис. 12

√3 возникает в несложном построении из двух окружностей, известном как vesica piscis (Рис. 12). Эта фигура – один из главных символов христианства; в частности, на его основе начерчен знак ἰχθύς, которым сопровождается монограмма имени Христа.
См. например статью в [Catholic Encyclopedia, 1913]

Об использовании корня из трех в архитектуре упоминает, в частности, Витрувий; две пересекающиеся дуги лежат под ногами витрувианского человека.
См. например в издании [Cesariano, 1521, С. 49]

6.4 Свойство 4

Рис. 13

Угол A при основании сферического треугольника AGC может быть выведен из пропорции 1/7, которая встречалась в Свойстве 1. Если под 1/7 понимать седьмую часть полного круга (2π/7 рад.), то угол A можно выразить через
tg A = 1 / sin β – соотношение, связывающее угол при основании правильной четырехгранной пирамиды в плоскости грани с углом между апофемой и высотой (Рис. 13).
Фактическое значение ∠A – 51.9815°. Рассчитанное предложенным способом – 51.9806°. Разница – 0.0017%. Названные четыре свойства не являются чем-то иным, нежели числовыми совпадениями; определенную ценность они приобретают лишь в силу того, что снова и снова встречаются нам при изучении фрейма – подобно тому, как некая пропорция или геометрическая форма много раз повторяется в произведении архитектуры. Так, например, седьмая часть полного круга вновь появляется в следующем разделе.

7 Связь фрейма с системой географических координат

7.1 Свойство 1

Рис. 14


Обсерватория Гринвича (точка G фрейма) удалена от экватора примерно на 1/7 часть меридиана. Этот любопытный факт почему-то не нашел отражения в хрониках основания королевской обсерватории. Расхождение составляет 5.47 км, или 0.0492 градуса широты, или 0.014% от длины меридиана.
Если предполагать здесь некий архитектурный замысел, то, возможно, он связан с первым и четвертым свойствами фрейма (правая часть Рис. 9, а также Рис. 13).

7.2 Свойство 2

Рис. 15


Продолжим основание и главную высоту △AGC до пересечения с экватором; точки пересечения обозначим как T1 и T2. Оказывается, что отрезки CT1 и T1T2 примерно равны между собой.

Примечание: На идеальной сфере расхождение составляет 0.152%, причем CE1 > E1E2. В геодезической системе WGS84, напротив, CE1 < E1E2 на 0.095%.

Таким образом, можно говорить о связи расположения фрейма на земной сфере с ее экватором (Рис. 15).

7.3 Свойство 3

Рис. 16


Вершина A △AGC и середина его правой грани GC (точка M'') лежат приблизительно вдоль одного и того же географического меридиана (Рис. 16):
λ(A) = 27.5566° E
λ(M'') = 27.5991° E
Разница составляет 0.04254° или 0.154%.
Или же можно сказать, что медиана △AGC из вершины A к стороне GC отклоняется от меридиана на 0.0320°.
Еще более точно совпадает с долготой точки A долгота Минска: различие – 0.0005°.

7.4 Свойство 4

Четвертое совпадение, которое можно рассматривать как признак неслучайной ориентации фрейма относительно сторон света, показано на Рис. 17.
В Риме направление на Север делит угол между лучами на Гринвич и Будапешт пополам.

Ближайшая к центру Рима точка, в которой азимуты на Гринвич и C точно равны, находится в 1 км к западу от Колизея.

Рис. 17. Связь меридиана Рима с

лучами на Гринвич и Будапешт


Интересно, что величина α, равная половине угла CRA, может быть получена из "плоского аналога" фрейма, показанного на Рис. 9. Расхождение составляет 0.001° или 0.002%. Это – случайное совпадение, а не тривиальное геометрическое свойство.
Это или близкое к нему число, встречалось в ходе исследования 13 раз, проявляя связь с величинами и пропорциями самого разного рода, от астрономических констант до гиперболических функций, и заслуживает отдельного материала.

7.5 Свойство 5

По случайному совпадению, азимуты из Гринвича на вершины A и C фрейма можно связать простым соотношением
Az(A) = –5 Az(C), Рис. 19.

С его помощью нетрудно рассчитать и азимут главной высоты GM.


Рис. 19. Соотношения между

азимутами из Гринвича


Итак, строение фрейма, его размер и положение на поверхности Земли обнаруживают ряд совпадений, в том числе – с числами и пропорциями, напоминающими о пифагорейской геометрии 34 и ранних архитектурных трактатах.

Примечание: Применение пифагорейских фигур в градостроительстве всесторонне обсуждено в работе [Boerefijn, 2010 С. 241], в архитектуре – [Брунов, 1936].

Осталось рассмотреть последнее качество фрейма: ориентацию зданий и городских планировочных осей на его точки.

8 Ориентация планировочных осей на точки фрейма

8.1 Города центрального планировочного элемента


В исторических центрах городов, образующих симметричный пятиугольник RBWSG (Рис. 5), существуют участки ортогональной застройки, оси которых сориентированы на базовые точки. Список этих районов приведен в Таблице 4.

Примечание: Несмотря на то, что Гринвич является одним из районов Большого Лондона, он лежит за пределами исторического центра. По этой причине Лондон не включен в таблицу и симуляцию.

На Рис. 20 эта взаимосвязь показана стрелками, соответствующими ориентации районов. Сами районы показаны на Рис. 22.

Таблица 4

Чтобы выяснить вероятность случайного совпадения такого рода, построен программный симулятор со следующим алгоритмом. В каждом городе случайным образом генерируется 6 планировочных осей (что соответствует реальному количеству районов с выраженной ортогональной застройкой в радиусе 2 км от центра 38: в Стокгольме таких 5, в остальных городах – по 6). Затем каждая ось проверяется на совпадение с азимутом на 3 вершины △AGC и на симметричную точку пятиугольника.39 Принимается во внимание и тот факт, что одна планировочная ось соответствует четырем различным азимутам с шагом 90°. Очевидно, что при погрешности ±2° вероятность хотя бы одного совпадения для одного города составляет P1 = ε/360°, где ε = 4 ⋅ 6 ⋅ 2°, откуда P1 = 0.133. Как видно из Таблицы 4, нас интересует восемь совпадений одновременно.

Симулятор показывает, что вероятность 8-ми и более случайных совпадений городской планировочной оси с азимутом на базовую точку равна 0.0386 (386 случаев на 10000 испытаний), что в 5 раз меньше пикового значения 0.2071, соответствующего наиболее вероятному результату – трём совпадениям (Рис. 21).
Итак, невероятным такое событие назвать нельзя, но, если рассматривать его не само по себе, а в контексте гипотезы образуемого этими городами симметричного пятиугольника (вероятность появления которого была рассчитана ранее), порядок величины уменьшится до четырех нулей после запятой.

Примечания:
36 История ее возникновения – [Giedion, 1959, С. 95].
37 В городской черте Будапешта также находится древнеримский Аквинкум, ось которого развернута на W с отклонением 0.4°–2°. Однако, он лежит вне радиуса 2 км от центра, поэтому не включен.
38 Здесь, как и везде, центр определяется по критериям, указанным в Приложении G (кафедральный собор).
39 S для Рима, W для Будапешта и т.д.

8.2 Ориентация ортогональной застройки на точки A и C


Ориентация районов прямоугольной застройки на вершины A и C наблюдается и в других городах. В Таблице 5 приведены наиболее явные примеры такого рода – те столицы, в центре которых эта планировочная ось доминирует по сей день или выглядит доминирующей на старых городских планах. В ряде случаев старые городские планы развернуты вдоль одного из таких направлений (Хельсинки, Нью-Дели, Москва XVI–XVII в., некоторые карты Киева, советский план Таллинна).
Примечания к Таблице 5:
40 Усредненное отклонение на основе нескольких измерений уличных осей по спутниковым снимкам.
41 В Варшаве, кроме того, примерно на точку A развернута самая большая площадь города, устроенная на месте Саксонского дворца (1666 г.) – резиденции короля Августа II; отклонение современной оси – 1.9°.
42 Первый и самый крупный район ортогональной застройки исторического центра Киева.
43 Ориентация осей унаследована Новой и Пушкинской площадями.
44 Еще один заметный участок регулярной застройки в черте Старого города, сформировавшийся вокруг манежа (Tummelplatz, Rejdiště) в XIX в., ориентирован на вершину G с отклонением в 1.4°.

8.3 Ориентация планировочных осей 366 объектов в Европе


Для того, чтобы сделать статистически обоснованные выводы о неслучайности ориентации районов городской застройки, необходимо изучить несколько тысяч объектов. Каждый объект требует отдельной работы с архивами и на местности. Даже в западноевропейских столицах, где строительство подробно документировалось, нелегко проследить происхождение отдельной оси и то, как она менялась со временем. Такой объем исследовательской работы далеко выходит за рамки данной монографии. Однако, если взаимосвязь между точками фрейма и ориентацией городских осей существует, она наверняка проявит себя и на относительно небольшой выборке. Анализ такой выборки нельзя рассматривать как строгое доказательство этой взаимосвязи или достоверную оценку ее вероятности. Тем не менее, она дала некоторый дополнительный аргумент в пользу нашей гипотезы.
Наиболее заметными постройками в городе, очевидно, являются крупные культовые сооружения (собор или главная мечеть), а также здания, откуда осуществляются функции государственной власти (королевский замок, дворец, резиденция президента или главы правительства, парламент). Однако, распространена точка зрения, что ориентация санктуариев часто диктовалась религиозными праздниками, то есть – астрономическими наблюдениями, вне связи с окружающей застройкой.45
Поэтому они исключены из рассмотрения. Так как временные рамки изучаемого феномена остаются неопределенными, в выборку уместно включить сохранившиеся сооружения любой эпохи. В Европе с X по XX век можно уверенно назвать 366 самых известных зданий или комплексов такого рода.

Рис. 33. Точки фрейма, участвующие

в сравнении

Ориентация этих объектов сравнивается с азимутами на 10 точек фрейма: 3 вершины △AGC, середину его основания (точку M), базовые точки R, B, W, S, а также точки пересечения отрезков GB и GW с основанием (X и Y), см. Рис. 33.
Если допустить погрешность в ±1.5°, случайное совпадение оси здания с азимутом на одну из 10 точек должно фиксироваться в среднем в 33% случаев.46
В реальности это происходит несколько чаще (41.5%). В целом наблюдаемая картина близка к нормальному распределению (Приложение E). Однако, именно точка A оказалась дальше всего от наиболее вероятного значения случайной величины (P=0.1157, 12 объектов): вероятность наблюдаемого результата (25 объектов) составляет 0.0005, то есть ниже в 231 раз (см. Рис. E.1).
Следующая по числу сориентированных на нее объектов – точка X фрейма. Для нее, а также для точек A и C, ниже будут представлены наиболее интересные из обнаруженных совпадений.

Примечания:
45 Этому феномену посвящен ряд работ; одна из самых фундаментальных – [Nissen, 1910]. В России проблему изучали Б.А.Рыбаков, П.А.Раппопорт и другие; их гипотеза астрономических ориентиров оспорена позднейшими исследованиями [Заграевский, 2012].
46 1.5° х 2 (так как плюс-минус) х 4 (ортогональных направления) х 10 (точек) = 120°, т.е. 33% полного круга.
Рис. 33. Точки фрейма, участвующие в сравнении

8.4 Ориентация административных центров на точки А и С


Как было сказано выше, в рамках этой монографии нельзя сделать однозначный вывод о
неслучайности ориентации планировочных осей на точки фрейма. Однако, в перспективе
дальнейших исследований будет нелишним назвать еще несколько совпадений – без претензий на роль доказательств нашей гипотезы, но лишь в качестве иллюстрации.

Все объекты на Рис. 34 – Рис. 40 в результате достроек получили по нескольку планировочных осей. Но на точки A и C сориентированы именно их старейшие части, в то время другие оси идентифицировать относительно фрейма не удается.
В отличие от случая Таллинна, ось старейшей части Рижского замка (на точку C) не так заметна в планировке остальной части исторического центра города. Однако, несколько улиц вдоль набережной поддерживают ее.47 Похоже, что эта ось существует с основания замка в 1330 г.

Примечание: 47 Господская (Herrenstrasse, ранее XV в.), Дворцовая (Palaisstrasse, конец XVI в.), Набережная 11 ноября.
На Рис. 35 – главный австрийский дворец Габсбургов. Капелла XV века (1) ориентирована на точку C с отклонением 0.7°; крылья 2 и 3 старейшей части замка (XIII в.) – 1.7°. Более новые оси не идентифицируются.
Пунктиром показаны современные очертания построек на спутниковых снимках.

На Рис. 36 и Рис. 37 – главная и вторая по значению резиденции правителей Баварии. Бургхаузен, кроме того, считается самым длинным замковым комплексом в Европе (показана самая старая часть комплекса). В обоих случаях на точку A развернута старейшая часть постройки – рыцарский зал (так называемый Dürnitz).
На Рис. 38 – крепость Турку (Åbo), административный центр средневекового шведского региона Эстерланд, позднее – герцогства Финляндия. Старейшая часть постройки XIII в. развернута на A, отклонение южной и восточной стен – 0.7°. Эта крепость, как и второй по значению после Выборга форпост Швеции на востоке – Олафсборг 48 – расположены вдоль грани △AGC (Рис. 39).

Примечание: 48 В некоторых источниках он назван самым северным каменным замком средневековья. Отклонение от отрезка GC – 3.4 км (для Турку – 1.1 км).

На Рис. 40 приведен план города Таллинн из „Большой советской энциклопедии“ 1970-х. Он развернут на точку A. (Направление на Север отличается на 4.3°.) Так же сориентирована застройка советского периода, от 500-метровой оси спортивного комплекса Горхолл (Linnahall) до площади Виру. Возможно, это направление было задано наиболее прямыми улицами старого города – Уус и Айа, которые идут вдоль восточной стены крепости, повторяющей, в свою очередь, ось Конвента 49 (отмечен серым в левой части рисунка).
На точки A и C ориентированы и другие крупные объекты (приводятся в Таблице 6 без иллюстраций, так как ось является единственной или безусловно главной).
Органы власти, оси которых сориентированы на точки A и C, можно отметить также в столицах Албании, Индии, Иордании, Люксембурга, России, Румынии, Сербии и Финляндии.

Примечания:
49 Старейшая сохранившая часть замка Тоомпеа (вторая половина XIV в.) на месте датской крепости XIII в.
50 Так как дворец находится в 5 км от отрезка AC, разница между направлениями на A и C – 0.4°.
51 Для оси внутреннего двора. Очень близка к ней ось всей старой застройки города.
52 Единственный случай, когда совпадение зафиксировано не для самой старой оси объекта, см. Рис. 45

8.5 Ориентация ратушных площадей на точки А и С


В Стокгольме, Копенгагене, Брюсселе и Праге к вершинам A или C развернута ось старейшей площади города, а именно - той ее части, где находилась (или находится) ратуша. Отклонения приведены в Таблице 7.

Таблица 7

8.6 Ориентация планировочных осей Константинополя и Каира


Данные совпадения вынесены в отдельный параграф, так как в них интересующая нас ориентация связана с более древними объектами, нежели в предыдущих случаях.


Рис. 44. Исторические границы Каира согласно Аль-Макризи (1441) с наложением нескольких современных улиц.

Старейший район Каира, формировавшийся вокруг римской крепости Вавилон, предсказуемо развернут на Рим со средней ошибкой 1°; сегодня эту ориентацию имеют, к примеру, знаменитая Висячая Церковь, церковь св. Сергия и Вакха и близлежащие постройки, часть которых опирается на фундаменты римских бастионов. Оси же исламского периода, начиная со строительства Аль-Катаи 53, совпадают с азимутами на другие точки фрейма: Ибн-Тулун, старейшая мечеть Каира, с отклонением 0.2° сориентирована на вершину G (Гринвич), а ось ортогональной застройки Аль-Кахиры (Рис. 44) – вдоль отрезка AC. В жилых кварталах отклонение достигает 3°. Однако, позднейшие постройки следуют ей более точно: дворец Абдин – 1.6° 54, восточная ось Цитадели – 0.5°, и, наконец, 470-метровая аллея парка Аль-Ажар (2005 г.) к северу от Цитадели – 0.7°.

Примечания:
53 Столица Египта времен династии Тулунидов, основана в 869 г.
54 Указано отклонение от азимута на точку A. Смотрите также примечание 50.
В Стамбуле азимут на точку C прослеживается в районе собора Св. Софии 55 (4 на Рис. 45) – дворца Топкапы (1,2). Наиболее точно ему следуют ось собора и здание Археологического музея (3). Годы постройки и отклонения указаны на рисунке.

Примечание:
55 Первая церковь заложена в 324 г., современное здание – в 537 г.

8.7 Ориентация различных объектов на точку X


Точка X (см. Рис. 33) – вторая по количеству сориентированных на нее объектов (см. пункт 5.8.3, в конце). Чтобы не перегружать работу иллюстрациями, наиболее примечательные из них сведены в Таблицу 8 в алфавитном порядке.

Примечание:

56 В ряде источников указывается, что площадь сориентирована по сторонам света. На самом деле разница с направлением на Восток составляет 1.9°.

8.8 Каба


Кааба 57 расположена на окружности, описанной вокруг треугольника AGC, с отклонением в 1.28 км (0.046%). Вдоль радиуса этой окружности сориентирована одна из двух ее планировочных осей.

Азимут из центра окружности (точки δ) на Каабу составляет 3.0004 радиана (отличие от целого числа – 0.023°). Вдоль направления на точку δ развернуто самое длинное здание комплекса – галерея между холмами Сафа и Марва (1 на Рис. 48), отклонение – 0.3°–0.8°.
Галерея появилась в XX веке, и ее ось не выглядит связанной с планировкой города. На плане XIX века также нет никаких следов этой оси (Рис. 47). Однако, сейчас вдоль нее сориентированы даже некоторые карты (Рис. 48; направление на Север отличается на 6°).

Рис. 47. Кааба на плане 19 века

Рис. 48. Современный план комплекса Каабы


Кааба сама по себе являет пример традиции ориентировать здания на весьма отдаленный рукотворный объект; подробнее, например, [Petersen, 1996, С. 240].

8.9 Парфенон


На Рис. 49 – Парфенон в Афинах (в центре рисунка). Он сориентирован одновременно на точки A и X (эти направления образуют там угол 90.040°), отклонение составляет 0.07°–0.13°.58

Угловое расстояние от Парфенона до точки A близко к целому числу: 16.007°.

Луч из точки X на Афины образует с основанием △AGC угол около 1 радиана.59


В Приложении G (Пример 15) показано, каким образом Кааба и Парфенон объединены с Храмовой горой в Иерусалиме общим построением.

Примечания:

58 Ниссен приводит измерения шести исследователей для ориентации Парфенона [Nissen, 1910, С. 169] и сам использует данные Пенроуза - 257°7' для оси западного фасада (там же, cтр. 244) или 77.12° к северу для продольной оси. Они точно соответствуют замерам по спутниковым снимкам (77.14°). Азимут на точку A равен 90° + 77.050°, на точку X – 77.010°. Таким образом, отличие оси Парфенона от азимутов на A и X можно оценить в 0.07°–0.13°.

59 Точно 1 радиану он равен, например, в городском районе Эллинико, в 8 км от агоры.


Рис. 49. Афинская агора

9 Объекты вдоль главной высоты △AGC

Возможно, что применение фрейма в целях навигации оставило свой след в истории географических открытий и европейской экспансии. На схеме ниже – несколько таких событий и объектов вдоль геодезической прямой, на которой лежит главная высота △AGC, и две примечательные астрономические обсерватории. Отклонения: "−" – влево, "+" – вправо.

Рис. 50

Примечание: 60 Согласно [Power, 1983]

10 ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

10.1 Техническая возможность применения фрейма в разные исторические эпохи


Вызывает сомнения техническая осуществимость применения фрейма в качестве картографической основы при основании новых городов или присвоении им административного статуса.


Для ответа на этот вопрос, составлена диаграмма становления 42 современных столиц в этом качестве, с параллельной шкалой развития геодезической науки (Приложение F). Наш вывод состоит в том, что принципиальных препятствий проведению подобных вычислений в античном мире не существовало.


Только в единичных случаях дата основания города сильно опережает эпоху, когда идея такого расчета могла появиться в принципе. Из 42 столиц "Запада", это Анкара, Константинополь, Рим и Афины, а также города южного Средиземноморья – Алжир, Тунис и Триполи. Что касается первых четырех, применение к ним нашей гипотезы выглядит исторически неправомерным; последние же три случая, напротив, косвенно ее подтверждают, так как именно для этих трех городов, и только для них, не удалось найти никакой связи с изучаемой схемой.

6.2 Субъект применения фрейма


Неясно также, кто мог являться носителем этой информации и каков был механизм реализации планировочных решений, на ней основанных.
Возможно, ответ на этот вопрос кроется в кратном росте числа совпадений при поиске цепочек из 4-х и более городов с помощью компьютера, которое мы наблюдали после замены "гугловских" координат центра города на координаты кафедральных соборов (см. текст ниже Рис. D.2). Дальнейшую разработку этого тезиса следует вести в архивах, в то время как данное исследование базируется в основном на численных методах.

6.3 Причины существования фрейма


То немногое, что наши современники в состоянии понять в античной мысли, позволяет заключить о принципиально иных воззрениях предков на устройство вселенной и проблему космоса и хаоса. Возможно, для мыслителя пифагорейской эпохи и даже раннего средневековья необходимость организации ойкумены в соответствии с абстрактными принципами числовой и геометрической гармонии была гораздо более очевидной, нежели это сейчас представляется.61
Архитекторы прошлого создали целый ряд грандиозных сооружений, функциональное назначение которых дискутируется по сей день. Однако, эта дискуссия не мешает их изучению и тем более не дает оснований отрицать их реальность.

Примечание:
61 Связь градостроительных практик средневековья с "символическими фигурами космического значения" обсуждается в [Boerefijn, 2010, С. 270, 280]. В более широком смысле – у [Eliade, 1959, С. 29-30].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ


Мы сделали все, чтобы облегчить восприятие полученных результатов и их верификацию, но, из-за новизны темы и подхода к ней, то и другое все же требует от читателя определенного труда. Однако, есть большой шанс, что этот труд будет вознагражден, поскольку серьезное рассмотрение гипотезы фрейма открывает весьма интересные возможности для архивных и полевых археологических исследований.

За рамками этой работы осталось немало материала, накопленного в ходе исследования, но не связанного напрямую с заявленной темой. На его основе планируются несколько отдельных статей.

ПРИЛОЖЕНИЕ A


Координаты центров столиц


В качестве координат центра города для расчетов и компьютерных моделей приняты координаты старейшего или самого значительного по своей исторической роли христианского собора или главной мечети. Если такой объект нельзя назвать с уверенностью, выбирается примерный геометрический центр самой старой части города или старшейшее здание центра.
Надо отметить, что в четырех городах, помимо выбранных таким образом центров, заданы координаты так называемых базовых точек (Рим, Будапешт, Варшава и Стокгольм, см. Рис. 5). В данном приложении эти точки не фигурируют.
Список городов разделен на две части согласно зонированию, показанному на Рис. 3 – условные "Запад" и "Восток". Города следуют в алфавитном порядке

Таблица A.1 – "Запад"

Таблица A.2 – "Восток"

ПРИЛОЖЕНИЕ B


Расчет вероятности и описание работы симуляторов для симметричного пятиугольника


Допустим, что четыре пункта могут расположиться вокруг точки G случайным образом в границах некоей области. Для того, чтобы из них составился пятиугольник с наблюдаемым на Рис. 5 типом симметрии, достаточно, чтобы выполнилось одно из трех возможных событий – E1, E2 или E3. Каждое из них можно описать так: "пара точек симметрична относительно некоторой оси, проходящей через точку G; вторая пара точек симметрична относительно той же оси". Опуская весь ход рассуждений и применяя некоторые упрощения, чтобы избежать интегрирования, вероятность каждого из этих событий можно представить как:


Pr(E1) = (δ1/L) (δ1/L) (δ2/2π)


где δ1 – допустимая разница длин отрезков в парах GR/GS и GB/GW, δ2 – допустимая разница углов, образующихся между отрезками, L – максимальная дистанция от точки G.

Поскольку эти три события равновероятны и несовместны, эту вероятность нужно умножить на 3.

В области, показанной на Рис. 3 пунктиром, помещается 37 столиц. Круг, равный ей по площади, имеет радиус 2345 км. Максимальное фактическое отклонение – ±3.75 км. Угловое отклонение возьмем заведомо больше наблюдаемого (±0.083°). Если δ1=7.5 км, δ2=0.366°, то для всех Cnk возможных "четверок", составленных из 37 городов, искомая вероятность будет равна:


Pr = Cnk · 3 Pr(E1) где Cnk = 66045.


Подставляя указанные выше значения, получим Pr = 0.001, или 1 к 1000.

Написаны две программы, моделирующие эти события. Одна из них близка к теоретической модели (точка G – в центре круга радиусом 2345 км), вторая – к реальному положению дел (точка G – на верхней границе прямоугольной области той же площади, что и в первом случае).

Для указанных выше погрешностей, по результатам 100 000 испытаний получены следующие значения вероятности: 0.00079 и 0.00061, то есть на 13% и 33% ниже, чем предсказывает наш примитивный расчет. Это весьма удовлетворительное соответствие теории и симуляции. Хорошее совпадение с теорией наблюдается в широком диапазоне отклонений δ (Рис. B.1).

ПРИЛОЖЕНИЕ C


Расчет вероятности и описание работы симуляторов

для медиан и биссектрис треугольника AGC


В данном случае событием является совпадение центра города с медианой или биссектрисой треугольника. Более строго: точка, занимающая случайное положение в пределах большого углового сектора величиной α, должна попасть внутрь малого сектора, величина которого равна двойному допустимому отклонению (2ε), Рис. C.1.

Очевидно, что вероятность такого события p = 2ε/α. Для четырех отрезков (две медианы, две биссектрисы) она увеличивается в 4 раза.

В грубом приближении, для расчета вероятности здесь применимы формулы Бернулли и Пуассона. Согласно формуле Бернулли, вероятность того, что в n независимых испытаниях событие наступит k раз, равна:


Pk,n = Cnk · pk · (1 − p)n−k


Под испытанием понимается случайная генерация нового города в пределах большого сектора; таких городов 30 (n=30). Событие же должно наступить 7 раз (k=7). Cnk есть количество сочетаний из n по k:

Согласно формуле Пуассона,

Pk,n = (np)k e−np / k!


Обе эти формулы дают хорошее совпадение с результатами работы симулятора: при малых значениях k расхождение составляет от 1.9% до 13.5% для формулы Бернулли и от 5% до 13.5% для формулы Пуассона (разброс дан для различных значений ε). При k=7 расхождение составляет от −22% до 73% для формулы Бернулли и от −130% до 61% для формулы Пуассона. Последний случай показан на Рис. C.2.

Симулятор построен на плоскости. Генерируются случайные координаты 30 городов. Ограничено минимальное расстояние между городами (55 км) и удаленность от углов треугольника (1500 км), что соответствует фактической ситуации. Для каждого города проверяется совпадение с обеими медианами и биссектрисами треугольника. В результате 1 113 000 испытаний получено 1 совпадение 7-ми городов одновременно, что достаточно близко к теоретическому расчету:

Симулятор: P7,30 = 0.88 · 10−6

Формула Пуассона: P7,30 = 2.04 · 10−6

Формула Бернулли: P7,30 = 1.08 · 10−6

Таким образом, искомую вероятность можно оценить примерно как 1 к миллиону.

ПРИЛОЖЕНИЕ D


Описание работы симулятора расположения случайных точек вдоль прямых


Области моделирования: показаны сплошной линией на Рис. 3.


Система координат: географическая (широта и долгота на идеальной сфере), с преобразованием в картографическую проекцию Меркатора для представления на экране.


Параметры: количество городов (68), ширина полосы (задавалась в пределах от 2 до 12 км), количество попыток (обычно 100–150).


Метод генерации случайных координат: чтобы сохранить картину распределения плотности городов по регионам, случайные координаты генерируются путем сдвига реально существующего города в произвольно выбранном ортогональном направлении на случайную величину от 0 до 100 км.

Краткое описание алгоритма (одна попытка):

1. Сгенерировать случайные координаты всех городов

2. Выбрать один город и рассчитать азимуты от него ко всем остальным городам

3. Отсортировать полученный список азимутов по возрастанию

4. Разбить список на наборы из 6, 5 и 4 городов с целью последующей проверки

5. Для каждой "шестерки", "пятерки" и "четверки" перебрать все возможные комбинации городов, составляя из них треугольники

6. Проверить, вписывается ли треугольник в заданную ширину полосы

7. Если все треугольники изучаемого набора укладываются в заданную ширину полосы, зафиксировать этот набор ("шестерку", "пятерку" или "четверку") как удовлетворяющий условию.

8. Перейти к следующему городу (шагу 2).


Геометрическая схема алгоритма приведена на Рис. D.1. Границы полосы показаны условно; на самом деле рассчитываются только сами треугольники. Наименьшая из высот каждого треугольника сравнивается с заданной шириной полосы.

На выходе программы мы получаем все возможные наборы по 6, 5 и 4 города, укладывающиеся в заданную ширину полосы. Таким образом, программа позволяет, при необходимости, проанализировать фактическую карту местности и найти на ней все такие цепочки. Основная же ее задача – выполнить нужное число симуляций, генерируя случайную карту и подсчитывая количество совпадений.


Результаты работы симулятора при различной ширине полосы отражены на графиках – Рис. D.2. Вертикальной чертой показано фактически наблюдаемое число наборов из 4 и более городов вдоль одной прямой.

Как видно из графиков, для полосы шириной 2 км наиболее вероятно появление 2 наборов из 4 и более городов в ряд, тогда как в реальности их 5. Для полосы 3 км в 150 прогонах симулятора не было зафиксировано ни одного случая появления 12 наборов одновременно, хотя на карте они присутствуют.


Интересно, что если вместо координат кафедральных соборов использовать координаты центра города согласно глобусу Google Earth 62, количество совпадений падает: в полосе 3 км – с 12 до 5, в полосе 4 км – с 14 до 8.


Итак, для ширины полосы 2 км вероятность наблюдаемого числа совпадений (P = 0.06) в 6 раз ниже наиболее вероятного значения (Pmax = 0.375), для полосы 3 км – примерно в 30 раз, для полосы 4 км – в 10 раз, 5 км – в 5 раз.


На Рис. D.3 показаны два результата работы симулятора на ширине полосы 5 км: вверху – для реальных координат городов, внизу – типичный вид карты после случайного сдвига тех же городов на 0–100 км. В реальности наблюдается 16 "четверок" и одна "пятерка". Случайный результат – чаще всего 8–9 "четверок".


Примечание:

62 Принцип выбора точки, обозначающей в этой программе центр города, не очевиден. В большинстве случаев эта точка лежит в пределах исторического центра, но иногда оказывается в отдаленных районах.

ПРИЛОЖЕНИЕ E


Измерение ориентации 366 объектов и оценка вероятности случайного совпадения


Формирование выборки: страны, по территории которых проходит фрейм63, плюс Испания и Португалия, чтобы завершить охват европейского континента. Малые государства не рассматривались. В каждой стране в список обязательно включались действующие центры власти (резиденции монарха, президента, главы правительства, а также парламент), плюс самые известные из исторических построек такого рода. В зависимости от территории и степени феодальной раздробленности, от каждой страны в списке оказалось от двух (Косово, Македония) до 36 (Германия) объектов.


Примечание:

63 Поэтому, помимо государств Европы, оказались включены Египет, Турция и Россия.

Выбор осей: большинство объектов имеет ярко выраженную центральную ось планировки. В 29 случаях, когда таких осей было несколько, учитывались главные из них64. При этом разнонаправленные оси средневековых крепостных стен и более поздних укреплений бастионного типа игнорировались; в сооружениях такого рода измерялась ориентация самых примечательных зданий, оси внутренней застройки, старейшей части замка или его главного зала. Совпадение фиксировалось, если ось отличается от азимута на базовую точку не более чем на 1.5°. Всего рассмотрено 402 оси.

Примечание:
64 За исключением симметричных лучей, расходящихся по сторонам от главной оси – типа так называемого "версальского трезубца" во дворцах эпохи Ренессанса и после нее.


Измерения: проводились по спутниковым и аэрофотоснимкам, имеющим минимум геометрических искажений. Сравнивались снимки разных лет, углы измерялись несколько раз, затем выводилось среднее значение. Где возможно, результат сопоставлялся с графическими планами объекта.

Рис. Е1

Результаты: представлены на Рис. E.1 вертикальными пунктирными линиями.

Симулятор: вместо фактической ориентации, для каждого объекта генерировались случайные оси, для которых фиксировалось совпадение с азимутами на те же 10 точек фрейма. Результаты представлены на Рис. E.1 сплошной кривой, выражающей распределение вероятности случайной величины. Количество циклов симуляции – 5000. Для каждой точки была построена отдельная кривая; однако, кривые практически совпадают, поэтому приведен только один усредненный график.

ПРИЛОЖЕНИЕ F


Становление современных столиц Европы и Северной Африки


График построен с целью дать общее представление о процессе превращения населенных пунктов в административные центры, чье влияние распространяется на территорию, сопоставимую с соответствующим современным государством. Плотность штриховки отражает степень такого влияния; черный прямоугольник маркирует момент, с которого доминирование города можно назвать бесспорным – например, перенос туда королевского двора или провозглашение столицей. Последующие события, например – временная потеря статуса, на диаграмме не отражены.

Слева указан год, справа – важные вехи в области развития геодезии и тригонометрии:

А – 335–300 г. до н.э., учебник Автолика по сферической геометрии, старейший из сохранившихся математических трактатов Древней Греции. (Согласно [Boyer, 1991]. Учебник: [Autolyci, 1885]).

E – 240 г. до н.э., расчет Эратосфеном размеров Земли. Точность расчета, по различным оценкам – от 1.6% до 16.3%. Сама методика позволяла выполнить расчет с точностью не хуже 0.16%.66 Эратосфен уже применяет картографическую систему параллелей и меридианов.


H – 162–127 г. до н.э., Гиппарх составляет таблицу хорд (аналог тригонометрических таблиц), обосновывает необходимость точного астрономического измерения широт и долгот населенных пунктов, а также триангуляции. В его работах применена градусная сетка.


M – 98 г. н.э., Менелай Александрийский публикует трактаты по сферической геометрии, где используется понятие сферического треугольника и даются примеры прикладного использования этой дисциплины для астрономических расчетов и измерений.67


B – 990 г. н.э., Аль-Бируни устанавливает размеры Земли с ошибкой 16.8 км 68 и наносит на карту координаты 600 населенных пунктов. Таким образом, начиная с IV века до н.э., применение сферической геометрии для картографических целей не выглядит невозможным, а с X века н.э., по крайней мере в арабском мире, методов и знаний уже достаточно, чтобы произвести все расчеты, предусмотренные нашей гипотезой, с необходимой точностью. Осуществимость таких расчетов до X века невозможно считать доказанной. Однако, следующие заключения можно сделать с уверенностью: 1. Уже в IV веке до н.э. существуют специалисты, которым известны базовые принципы решения подобных задач: шарообразность Земли, необходимость применения сферической геометрии, понятие о координатной системе, точное измерение времени. 2. Добиться необходимой нам аккуратности можно без применения каких-либо технологий или инструментов, которые были принципиально невозможны в античном мире. Об этом свидетельствует методика, разработанная Аль-Бируни в 10 столетии нашей эры на основе трудов античных геометров.


Итак, за исключением африканских столиц, а также Афин, Анкары, Рима и Константинополя, гипотеза о геодезическом расчете координат, предшествующем основанию города, не может быть полностью отвергнута, хотя исторические примеры такого расчета нам неизвестны.


Примечания:

66 См. например [Abreu, 2015].

67 См. например [Menelai, 1758].

68 См. например [Gomez, 2014].

ПРИЛОЖЕНИЕ G


Примеры применения фрейма как координатной системы


При беглом просмотре рекомендуется обратить внимание на Пример 16 и Пример 17, как наилучшим образом иллюстрирующие тему данного приложения.


Пример 1. Берлин, Вена


Луч из вершины A треугольника AGC проходит через точку λ пересечения отрезка RS с главной высотой треугольника.

Угловое отклонение направления на центр Берлина от этого луча – 0.04° (2.2 км), на центр Вены – 0.02° (или 1.0 км).

Модуль радиус вектора (то есть конкретная точка вдоль луча Aλ) для Берлина может быть задан как пересечение с ним окружности с центром в точке S и радиусом SW (S и W – базовые точки в Стокгольме и Варшаве). На том же круге лежит центр Гамбурга; отклонение для старого кафедрального собора – 0.0006 градусов или 68 метров.


Рис. G1

Пример 2. Тирана — Прага


Проведем из вершины A треугольника дугу радиусом AW (Рис. G.2). Через точку η пересечения этой дуги с главной высотой проведем луч из вершины A.
Отклонения центров городов от луча Aη, км:
Тирана2.14;
Подгорица3.69;
Сараево0.98;
Прага−0.49
(Одновременно происходит локализация Тираны, расположенной, как было показано на Рис. 7, вдоль медианы этого треугольника.)

Рис. G2

Пример 3. Кишинев — Джибути


Отметим вдоль главной высоты точку ρ, в которой образуется прямой угол между лучами на R и S. Как видно на Рис. G.3, вдоль продолжения луча Sρ лежат 4 столицы, не считая Стокгольма.
Отклонения центров городов от луча Sρ, км:
Кишинев 2.77;
Анкара 8.12;
Бейрут 0.68;
Джибути 4.98.

Рис. G3

Вариант локализации Кишинева вдоль этого луча показан на Рис. G.4: окружность с центром в точке W радиусом WS.
Радиусы WS и W-Кишинев отличаются на 0.017 угловых градуса (около 1.87 км).

Рис. G4

Пример 4. Сараево


На Рис. G.2 был показан способ задания угла радиус-вектора для Сараево относительно основания △AGC. Вторую координату установить столь же просто: город пересекает средняя линия треугольника, проходя в 0.13 км от его центра.
Точка пересечения этих отрезков лежит в 1.82 км от центра города.

Рис. G5

Пример 5. Скопье — Осло


Если провести луч из вершины A треугольника AGC через базовую точку B в Будапеште, получим радиус-вектор еще для трех городов и одновременно – окончательную локализацию Приштины, лежащей, как было показано ранее, вдоль медианы треугольника.
Отклонения центров городов от луча AB, км:
Скопье −1.56;
Приштина −1.58;
Будапешт 0.51;
Осло −3.65.

Рис. G6

Пример 6. Брюссель — Каир


Точка τ – ортоцентр △AGC.70 Точка T – единственная вдоль основания △AGC, имеющая широту 30.000°.
Помимо четырех столиц, показаны города, в названиях которых можно расслышать праиндоевропейский корень *tréyes/*tri-.71 Уместно вспомнить также, что богиня Афина названа в Илиаде "рожденной в Трито".72
Отклонения центров городов от отрезка Tτ, км:
Брюссель −2.57;
Трир −2.75;
Триест −6.13;
Тирана −0.53;
Афины +1.31;
Тира +5.78;
Каир −0.96.

Примечания:
70 Ортоцентр – точка пересечения трех высот треугольника.
71 Соответствия ему в разных языках приведены в статье [Proto-Indo-European/tréyes, 2015].
72 Homer, iv.515, VIII.839.

Рис. G7

Пример 7. Мадрид — Тегеран


Линия проведена через базовую точку R под углом 54.000° 73 к левой грани △AGC.
Отклонения центров столиц от луча из точки R, км:
Мадрид −1.28;
Рим −0.2;
Стамбул +0.4;
Тегеран −2.33.
Вдоль линии, в пределах полосы шириной 6 км, находится также ряд административных центров провинций Турции, Ирана и Индии. В частности – британская столица Центральных провинций Индии Нагпур (−0.8 км), а также Марага, столица государства Хулагуидов, где расположена старейшая из сохранившихся обсерваторий средневековья 74 (−0.19 км, основана в 1259 г.).75


Примечания:
73 Одна из важных "пифагорейских" величин: половина угла правильного пятиугольника, являющегося основой главного символа пифагорейцев – пентаграммы. См., например, [Darling, 2004, С. 239].
74 Согласно [Kennedy, 1962].
75 Интересно, что угловое расстояние от нее до Северного полюса на 0.025° отличается от часто встречавшегося в ходе исследования угла α≈52.6° (см. пункт 5.7.4).

Рис. G8

Пример 8. Будапешт — Лиссабон, Варшава — Кишинев


На Рис. G.9 вводятся две новые точки X и Y – пересечения лучей GB и GW с основанием △AGC (см. 8.7).

Рис. G9

Соединив теперь X и Y с базовыми точками B и W крест-накрест, получим два луча, симметричных относительно фрейма, Рис. G.10.

Рис. G10

Отклонения центров городов от луча XW,км:

Кишинев −0.1;

Бельцы 77 +1.52;

Люблин 78 6.83;

Варшава +0.69.


Отклонения центров городов от луча YB, км:

Будапешт −0.22;

Милан 79 −3.35;

Турин 80 −2.94;

Лиссабон −4.28.


Еще одна пара лучей, симметричных друг другу в структуре фрейма, приведена в Примере 16.


Примечания:

77 Второй по площади и экономическому значению город Молдавии после Кишинева.

78 Место подписания Люблинской Унии, заседаний Сейма (XVI в.). Временная столица Польши (1944 г.).

79 Столица Западной Римской Империи (286 г.).

80 Столица Савойского дома, первая столица объединенной Италии (1861 г.).


Следующие три примера – 9, 10 и 11 – построены с применением двойного угла α, рассмотренного в пункте 5.7.4 (ориентация фрейма относительно сторон света).

Пример 9. Амстердам — Абу-Даби


Это построение, как и предыдущее, связано с точкой X.

Луч из нее проведен через точку x'' на правой грани △AGC, азимут из которой на X равен 2α.

Помимо трех действующих, прямая проходит через 4 исторические столицы, а также город Эрфурт (см. Пример 13).

Отклонения центров столиц от луча Xx'', км:

Амстердам +3.06;

Эрфурт +0.07;

Прага +4.40;

Велеград 81 −0.04;

Дебрецен 82 −3.91;

Клуж-Напока 83 +0.11;

Абу-Даби +4.88.


Примечания:

81 В фольклоре считается столицей Великой Моравии (IX-X вв.).

82 Второй по величине город Венгрии, временная столица (конец XIX в., также 1944-1945 гг.).

83 Второй по населению город Румынии, столица Великого княжества Трансильвания (XIX в.).

Рис. G.11

Пример 10. Лондон — Абу-Даби


Данная прямая интересна совпадением с ней планировочных осей ряда объектов, вдоль нее расположенных. Она проходит через G и точку на экваторе, долгота которой равна π−2α.

На Рис. G.12 справа показаны древние, слева – современные объекты. Описание приводится в Таблице G.9.


Рис. G.12

Таблица G.9 – Отклонения объектов от прямой, проведенной через точку G

Примечания:

84 Согласно сообщению на сайте городского совета [A Short History of Waterford, 2014].

85 Районирование Багдада – например в [Al-Akkam, 2011 p. 53].


Рис. G.13

Пример 11. Дублин — Доха


В этом построении угол 2α образуется в точке B с направлением на W.

Отклонения центров столиц от лучей из точки B, км:

Дублин −0.59;

Сегонтиум 86 +1.35;

Дюссельдорф 87 −0.29;

Братислава −7.23;

Будапешт +0.14;

Бухарест −0.37;

Манама −1.08;

Доха +2.39.


Примечания:

86 Главный римский форт на севере Уэльса, в черте Карнарвона - единственного королевского города (royal town) Уэльса.

87 Столица земли Северный Рейн-Вестфалия.


Рис. 14

Пример 12. Тирана — София


Основание равнобедренного треугольника покоится на главной высоте фрейма, одна из сторон – на его левой грани.

Такой треугольник не уникален; выбор пары его вершин, задающих интересующую нас сторону, возможно, продиктован тем, что азимут из одной вершины на другую близок к углу правильного пятиугольника – 108° (встречался в Примере 7); отличие – 0.044°.

Отклонения центров городов от линии, км:

Тирана −1.42;

София +1.46;

Скопье +0.87.

Рис. 15

Пример 13. Синагога в Эрфурте


Синагога Эрфурта (Alte Synagoge, 1100 г.), которую называют в прессе старейшей из сохранившихся в Европе (cогласно [Deutsche Welle, 2007]) расположена в 5.9 км от главной высоты △AGC. Она отсекает 1/4 этого отрезка с точностью 0.001 градус дуги, или 113 метров.


Рис. 16

Пример 14. Копенгаген — Иерусалим


Прямая строится по двум точкам – ω и F.

В точке ω главная высота △AGC пересекается с его средней линией. Найдем теперь вдоль основания △AGC такую точку F, азимут на которую из ω составляет ровно 90°. Остальное понятно из рисунка.

Отклонения центров городов от линии, км:

Копенгаген +1.63;

Бухарест +2.35;

Стамбул +3.11;

Иерусалим +0.59.

Ряд совпадений с этой прямой можно найти в Южной Норвегии: например, ее крупнейший город Кристиансанн, ось прямоугольной застройки которого отличается от прямой на 0.8°,89 или старейшую королевскую резиденцию Норвегии – Авальдснес (на рисунке не показаны).


Примечание:

89 Впрочем, данный случай можно попытаться связать с известной традицией ориентировать санктуарии на Иерусалим. Об этом, к примеру, у [Crone, et al., 1977].


Рис. 17

Пример 15. Объединяющее построение для Храмовой горы, Каабы и Парфенона


Если провести прямую через точку W и Каабу, она пройдет в 260 метрах от центра Храмовой горы в Иерусалиме.

Если через точку пересечения этой прямой с основанием △AGC построить перпендикуляр к нему, он пройдет в 1.2 км от Парфенона.

Другие объекты и отклонения – в Таблицах G.13 и G.14.


Таблица G.13 – Отклонения от прямой W-Кааба

Рис. G.18

Таблица G.14 – Отклонения от перпендикуляра к основанию △AGC

Рис. G.19

Угол 52.6307°, образующийся между прямой W-Кааба и отрезком WG, на 0.005° отличается от угла α, упомянутого в пункте 5.7.4. Как было показано, этот угол определяет ориентацию фрейма относительно сторон света; кроме того, он встречается в античной архитектуре и астрономии, чему планируется посвятить отдельное исследование.

Пример 16. Берлин — Нанкин


Две прямых, симметричных относительно главной высоты △AGC, проходят через точки B и W, пересекаясь под углом, равным ∠A ⋅ φ, где φ – золотое сечение, ∠A – угол при основании △AGC.


Рис. G.20

Таблица G.15 – Отклонения объектов от прямой через точку B

Таблица G.16 – Отклонения объектов от прямой через точку W

Пример 17. Москва, Санкт-Петербург, Стамбул


Особенно интересны случаи, когда одним построением объединены города, исторически друг с другом связанные – например, современная и историческая столицы или столица и второй по значению город (Багдад–Басра, Кишинев–Бельцы, Будапешт–Эстергом и т.п. в Примерах 8, 10, 16). В данном примере мы еще раз вернемся к Москве и покажем ее связи с Петербургом и Стамбулом.

В параграфе 5.4 было показано, что Москва лежит на биссектрисе △AGC, без уточнения, где именно вдоль нее. Найдем вдоль основания AC точку, равноудаленную от вершины C с точкой M'' – серединой боковой грани. Получим равнобедренный △CC'M''; его основание, очевидно, пересекает биссектрису CD' строго под прямым углом, образуя перекрестие, в 3.4 км от которого лежит Кремль. В этой точке находится здание Казанского вокзала, одна из башен которого копирует Кутафью башню Кремля [Тюкова, 2014].


Рис. G.21

Санкт-Петербург равноудален с Москвой от середины главной высоты △AGC. Взяв за основу координаты Москвы из построения Рис. G.21, получим дугу, проходящую в 180 метрах от Исаакиевского кафедрального собора Санкт-Петербурга.

Рис. G.22

Москва и Стамбул лежат на одном радиусе от Гринвича. Разница в дистанциях – 0.024 градуса дуги (0.1%).


Рис. G.23

Пример 18. Хельсинки


Город лежит на пересечении окружности, вписанной в △AGC, с окружностью с центром в точке G и радиусом Gο.

Отклонения в дистанциях, соответственно:

0.053° (0.47%) и 0.033° (0.20%).

Рис. G.24

Пример 19. Берлин, Копенгаген


Копенгаген лежит в 3.6 км от меридиана Рима (показан стрелкой на Рис. G.25).92 Отрезок θS проходит в 0.56 км от центра Берлина.
Стоит также отметить, что луч из точки A на Копенгаген образует с основанием △AGC угол, близкий к 90°-α, разница - 0.0045°.

Рис. G.25

Пример 20. Силбери-Хилл


Здесь мы отходим от обыкновения игнорировать доисторические монументы; почему – будет понятно из завершающего примера.
На окружности с центром в точке θ и радиусом θR лежит самый высокий курган Европы – Силбери-Хилл (точка S' на Рис. G.26). Отклонение от окружности – 0.011° (0.13%), от продолжения главной высоты △AGC – 3.8 км.

Рис. G.26

Пример 21. Круг из точки C


Вдоль окружности с центром в точке C фрейма с высокой точностью расположен ряд объектов мирового значения, например – Храмовая гора, Собор Парижской Богоматери, Запретный город Пекина и т.д. Основной список – в Таблице G.15.

Рис. G.27

Таблица G.17 – Отклонения объектов от окружности с центром в точке C

Примечания:

94 Одно из течений современного салафизма.

95 Для всех протяженных объектов (№№ 5, 7, 8, 9) взяты координаты центра.

8 БИБЛИОГРАФИЯ


Брунов, Н. Пропорции античной и средневековой архитектуры. – М.: Издательство всесоюзной академии архитектуры, 1936. – 140 с.
Глазычев, В.Л. Город без границ. – М.: Издательскиий дом "Территория будущего", 2011. – 400 с.
Зайцева Е. А. История населенных пунктов Югры: краткий научно-популярный справочник / Зайцева Е. А., Клюева В.П., Щербич С.Н. – М.: Издательство Перо, 2012. – 176 с. Саваренская, Т.Ф. Градостроительство Англии XVII-XVIII веков / Т.Ф. Саваренская, Д.О. Швидковский. – М.: Издательство "Эдиториал УРСС", 2001. – 140 с. Саваренская, Т.Ф. Западноевропейское градостроительство XVII-XIX веков. – М.: Стройиздат, 1987. – 192 с. Саваренская, Т.Ф. История градостроительного искусства / Т.Ф. Саваренская, Д.О. Швидковский, Ф.А. Петров. – М.: Стройиздат, 1989. – 392 с.
Al-Akkam, A.J. Urban Characteristics: The Classification Of Commercial Streets In Baghdad City // Emirates Journal for Engineering Research. 2011. Vol. 16. No.2. – C.53
Boerefijn, W.N.A. The foundation, planning and building of new towns in the 13th and 14th centuries in Europe. – Amsterdam: Instituut voor Cultuur en Geschiedenis (ICG), 2010. – 518 с.
Boutsikas, E. Placing Greek Temples: An Archaeoastronomical Study of the Orientation of Ancient Greek Religious Structures. – Austin: University of Texas Press, 2007.
Boyer, C. B. A History of Mathematics (2nd ed.). – Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 1991. – 736 с.
Cesariano, C. De Architectura. – Milan: Gotardus de Ponte, 1521. – 390 с.
Cohen M.A. How Much Brunelleschi? A Late Medieval Proportional System in the Basilica of San Lorenzo in Florence. – Spokane: Washington State University, 2008 // JSAH Journal of the Society of Architectural Historians. 2008. Volume 67. № 1. March 2008. - C.18
Crone, P. Hagarism: The Making Of The Islamic World / P. Crone, M. Cook. – Cambridge: Cambridge University Press, 1977. – 277 с.
Darling D. The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes. – Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2004. – 400 с.
Eliade, M. The Sacred and the Profane. – New York: A Harvest Book, Harcourt, Brace & World, Inc., 1959. – 213 c.
Giedion, S. Space, Time and Architecture. The growth of a new tradition. – Cambridge: Harvard University Press, 1959. – 778 с.
Keeble L. Principles and Practice of Town and Country Planning. – London: The Estates Gazette Limited, 1964. – 382 c.
Kennedy, E.S. Review: The Observatory in Islam and Its Place in the General History of the Observatory by Aydin Sayili // Isis Magazine. 1962.№53(2). – C. 237-239
Liritzis, I. Archaeoastronomical Orientation of Seven Significant Ancient Hellenic Temples / I. Liritzis, H. Vassiliou. – Austin: University of Texas Press, 2001.
Müller, W. Kreis und Kreuz. – Berlin: Widukind Verlag, 1938. – 120 с.
Nissen, H. Orientation. Studien zur Geschichte der Religion. – Berlin: Weidmannsche Buchhandlung, 1910. – 260 с.
Ondegardo, J.P. de, La relación de los adoratorios de los indios en los cuatro ceques. – Valladolid: 1561
Petersen, A. Dictionary Of Islamic Architecture. – London: Routledge, 1996. – 341 с.
Potere D. Horizontal Positional Accuracy of Google Earth’s High-Resolution Imagery Archive. – Princeton: Office of Population Research, Princeton University, 2008 // Sensors. 2008/ № 8.
Power, R. H. The Discovery of Columbus's Island Passage to Cuba, October 12–27, 1492 // Журнал Terra Incognita. 1983. №15. – С.151
Ragheb, A.E. Enhancement of Google Earth Positional Accuracy / A.E. Ragheb, A.F.Ragab // International Journal of Engineering Research & Technology (IJERT). 2015. Vol. 4. Issue 01.
Reidinger, E. Die Stiftskirche von Heiligenkreuz Achsknick und Orientierungstage Antworten aus der Gründungsplanung / E. Reidinger, R. Koch // Zeitschrift des Stiftes Heiligenkreuz. 2009. № 126. – 104 c.
Shaw, J. The Oxford History of Ancient Egypt. – Oxford: Oxford University Press, 2000. – 544 с.
Watkins, A. Early British Trackways, Moats, Mounds, Camps, and Sites. – Hereford: The Watkins Meter Co., 1922. – 42 с.

Электронные ресурсы


Заграевский, С.В. О научной обоснованности "азимутального метода". // Архитектор. Город. Время. Материалы Ежегодной международной научно-практической конференции (Великий Новгород – Санкт-Петербург). Начало: Объединенный выпуск XIII и XIV конференций. СПб, 2011. С. 69–74. Окончание: выпуск XV конференции. СПб, 2012. С. 122–136. – URL: http://www.zagraevsky.com/orientation.htm (дата обращения: 06.05.2013).
Тюкова Д. Отсюда по всей стране уходят поезда // Вечерняя Москва. 21.09.2014. – URL: http://www.vm.ru/news/2014/09/21/otsyuda-po-vsej-strane-uhodyat-poezda-265969.html (дата обращения: 21.12.2014).
A Short History of Waterford // Waterford City Council. – URL: http://www.waterfordcity.ie/city/history.htm (дата обращения: 15.12.2014).
Abreu, A. How did Eratosthenes measure the circumference of the earth? – URL: http://todaslascosasdeanthony.com/2012/07/03/eratosthenes-earth-circumference/ (дата обращения: 02.01.2015).
Alignments of random points // Википедия. – Дата обновления: 15.01.2015. – URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Alignments_of_random_points (дата обращения: 11.11.2014).
Archeologists Discover Medieval Jewish Bath in Erfurt // Deutsche Welle. 2007. – URL: http://dw.de/p/AEsT (дата обращения: 03.12.2014).
Autolyci. De Sphaera Quae Movetur. – Leipzig: Aedibus B.G. Teubneri, 1885. – 231 с. // Internet Archive. – URL: https://archive.org/stream/autolycidesphae01hultgoog#page/n69/mode/2up (дата обращения: 15.01.2015).
Catholic Encyclopedia (1913). Symbolism of the Fish // Википедия. Дата обновления: 04.11.2013. –URL: https://en.wikisource.org/wiki/Catholic_Encyclopedia_%281913%29/ Symbolism_of_the_Fish (дата обращения: 03.09.2014).
Emery, A. Malbork Castle – Poland. – Дата обновления: 10.03.2014. – URL: www.castlestudiesgroup.org.uk/Malbork%20-%20Anthony%20Emery.pdf (дата обращения: 08.09.2014).
Gomez A.G. Biruni’s Measurement of the Earth // Academia.edu. – URL: www.academia.edu/8166456/Birunis_measurement_of_the_Earth (дата обращения: 03.02.2014).
Homer. The Iliad / пер. с англ. // Gutenberg Project. – Дата обновления: 15.02.2014. – URL: http://www.gutenberg.org/files/2199/2199-h/2199-h.htm (дата обращения: 12.12.2014).
Lezama, J. A Contrario 2D Point Alignment Detection / J. e Lezama и др. – URL: http://hal.inria.fr/docs/00/95/65/96/PDF/point-alignement-detection.pdf (дата обращения: 02.08.2014).
Menelai. Sphaericorum Libri III. – Oxford: Sumptibus Academicis, 1758. – 112 c. // Mathematics and Mathematical Astronomy. – URL: http://www.wilbourhall.org/pdfs/Menelai_sphaericorum_libri_III_.pdf (дата обращения: 01.11.2013).
Proto-Indo-European/tréyes // Wiktionary. – Дата обновления: 20.02.2015. – URL: http://en.wiktionary.org/wiki/Appendix:Proto-Indo-European/tr%C3%A9yes (дата обращения: 09.12.2014).
Close
Появились вопросы? Свяжитесь с нами
I agree to the Terms of Service